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歐拉公式推導歐拉公式推導簡述

歐拉公式推導如下。

1、歐拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，它在複變函數論裏占有非常重要的地位。

2、e^ix=cosx+isinx的證明：因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展開式中把x換成Ⱪx.(Ⱪ)^2=-1,(Ⱪ)^3=??i,(Ⱪ)^4=1……e^Ⱪx=1Ⱪx/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)Ⱪ(x-x^3/3!……)所以e^Ⱪx=cosxⱩsinx將公式裏的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然後采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作𐱥𞗥ˆ𐯼še^i1=0。

歐拉公式如何推導出來

這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式

在e^x的展開式中把x換成Ⱪx.

，然後采用兩式相加減的方法得到：

。這兩個也叫做歐拉公式。將

中的x取作𐱥𞗥ˆ𐯼š

這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數學裏最令人著迷的一個公式，它將數學裏最重要的幾個數字聯係到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率𜛥…饀‹單位：虛數單位i和自然數的單位1；

以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。

擴展資料：

在任何一個規則球麵地圖上，用R記區域個數，V記頂點個數，E記邊界個數，則R+V-E=2，這就是歐拉定理，它於1640年由Descartes首先給出證明，後來Euler(歐拉)於1752年又獨立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為Descartes定理。

R+V-E=2就是歐拉公式。

參考資料：

百度百科---歐拉公式

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